Az egyváltozós függvények határérték fogalmának több dimenzióra való átvitele pár kihívás elé állít bennünket. Mivel több dimenzióban mozgunk, így nézhetjük külön-külön az egyes változókkal az adott értékhez való tartást, és azt az esetet is - ami már sokkal izgalmasabb -, ha az összes változóval egyszerre tartunk egy-egy meghatározott értékhez. Utóbbi esetben gyakran fogunk találkozni azzal az egyváltozós függvényeknél nem megszokott - bár ott sem precedens nélkükli esettel -, hogy a keresett határérték nem létezik. A határérték számítási technikák egy jelentős része az egyváltozós függvények határértékszámításánál megismert eljárásokból örökítődik át (rendőrelv, nevezetes határértékek alkalmazása), de megismerkedhetünk a polárkoorinátás technikával - ami különösen a kétváltozós rüggvények esetében teszi kényelmessé a számításokat - és az iterált határértékek fogalmával is - utóbbi kényelmes és gyors módját tudja adni egyes esetekben a határérték nem-létezés megállapításának. A feladatok során a kétváltozós függvények kerülnek terítékre, de ezek a módszerek átültethetőek több dimenzióra is, bár ott a polárkoordinátás formulák bonyolódnak. Szintén új színt hoz a témába a határérték nem-lézezés igazolásában jól alkalmazható elv, miszerint, az, hogy az adott értékhez milyen úton (milyen görbe mentén) tartunk, nem befolyásolhatja a hatátértéket, tehát ha tudunk adni két olyan görgét, ami mentén az adott változóval az adott értékhez tartunk, és amelyek más-más határétéket eredményeznek, akkor kijelenthető, hogy a keresett határérték nem létezik! Azt a tényt, hogy az \(x\) és az \(y\) változóval egyszerre tartunk egy \({x_0}\) és egy \({y_0}\) értékhez a következő, egymással egyenértékű formulák egyikével jelöljük:
\(\mathop {\lim }\limits_{\begin{array}{*{20}{c}}{x \to {x_o}}\\{y \to {y_o}}\end{array}} f\left( {x;y} \right)\) illetve a másik szokásos jelölés a \(\mathop {\lim }\limits_{\left( {x;y} \right) \to \left( {{x_{o;}}{y_o}} \right)} f\left( {x;y} \right)\)
A fenti határérték nem tévesztendő össze az úgynevezett iterált határértékkel, ami a következő formulákkal jellemezhető:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \mathop {\lim }\limits_{y \to {y_o}} f\left( {x;y} \right)\) illetve a fordított sorrend esetén a \(\mathop {\lim }\limits_{y \to {y_o}} \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f\left( {x;y} \right)\)
Végezetül érdemes pár szót ejteni a polárkoordinátákra való áttérésről, amelynek keretében kétváltozós függvényünk válzozóiban az \(x = r \cdot \cos \varphi \) és az \(y = r \cdot sin\varphi \) helyettesítéseket hajtjuk végre, ahol a változó szerepét az \(r > 0\) veszi át, a \(\varphi \) pedig befutja a teljes \(\left[ {0;2\pi } \right]\) intervallumot. Ezzel a helyettesítéssel a nagyon gyakori \(\mathop {\lim }\limits_{\left( {x;y} \right) \to \left( {0;0} \right)} f\left( {x;y} \right)\) határérték a \(\mathop {\lim }\limits_{r \to 0 + 0} f\left( r \right)\) egyváltozós határértékhez jutunk, aminek kiszámításakor, ha az eredmény függ a \(\varphi \)-től, akkor az a határérték nem-létezésének a jele. A következő példák során valamennyi itt felsorolt technika bemutatásra és begyakoroltatásra kerül!
A témakör oktatóvideóinak megtekintéséhez az oldalra való előfizetés szükséges!
