Folytonosság

A feladatok megoldásához szükséges elméleti tudnivalók

Többváltozós függvények esetében a folytonosság pont annyival jelent nagyobb kihívást az egyváltozós esethez képest, mint amennyit a többváltozós határérték problémák megoldása jelent egyváltozós társaikhoz képest, hiszen a feladat itt is ugyanaz, mint az egyváltozós problémák esetében: azt kell ellenőriznünk, hogy a vizsgált függvény kérdéses pont beli határértéke, és az ugyanott vett helyettesítési értéke megegyezik e. Egyezőség esetében a függvény az adott pontban folytonos. Az előzőkből viláágos, ahhoz, hogy sikerrel oldjunk meg többváltozós függvények folytonosságával kapcsolatos feladatokat magabiztosan kell tudnunk használni a többváltozós függvények határértékszámításának eszköztárát.

A témakör oktatóvideóinak megtekintéséhez az oldalra való előfizetés szükséges!

Mintafeladat:

Lehet e úgy definiálni az ??(??,??) függvényt az origóban, hogy folytonos legyen?

\[f\left( {x;y} \right) = \frac{{{x^3} + {y^3}}}{{{x^2} + {y^2}}}\]

Gyakorló feladat:

Lehet e úgy definiálni az ??(??,??) függvényt az origóban, hogy folytonos legyen?

\[f\left( {x;y} \right) = \frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2}}}\]

Gyakorló feladat:

Folytonos e a következő függvény:

\[f\left( {x;y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2}}}\quad \left( {x;y} \right) \ne \left( {0;0} \right)}\\{0\quad \left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right)}\end{array}} \right.\]

A feladatokhoz való visszatéréshez kattints ide, vagy nyomd le az Esc billentyűt!