Hányadoskritérium

A feladatok megoldásához szükséges elméleti tudnivalók

Legyen a \(\sum {{a_n}} \) csupa pozitív tagból álló végtelen sor. Amennyiben a \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\) határérték kisebb, mint egy, akkor a \(\sum {{a_n}} \) sor konvergens, ha a fenti határérték egynél nagyobb, akkor pedig divergens a vizsgált sor. A \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = 1\) esetén a hányadoskritérium segítségével nem eldönthető a sor konvergenciája, ilyenkor célszerű egy másik határérték kritériummal megpróbálkoznunk!

A témakör oktatóvideóinak megtekintéséhez az oldalra való előfizetés szükséges!

Mintafeladat:

Konvergens e a következő sor?

\[\sum {\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n} \cdot n!}}} \]

Mintafeladat:

Konvergens e a következő sor?

\[\sum\limits_{n = 3}^\infty {\frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\3\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\2\end{array}} \right)}}} ,\quad ahol\;\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)! \cdot k!}}\]

Gyakorló feladat:

Konvergens e a következő sor?

\[\sum {\frac{{{n^n}}}{{n!}}} \]

Gyakorló feladat:

Konvergens e a következő sor?

\[\frac{1}{2} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 5 \cdot 6}} + \frac{1}{{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}} + \ldots \]

Gyakorló feladat:

Konvergens e a következő sor?

\[\frac{2}{5} + \frac{{2 \cdot 4}}{{5 \cdot 8}} + \frac{{2 \cdot 4 \cdot 6}}{{5 \cdot 8 \cdot 11}} + \frac{{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}}{{5 \cdot 8 \cdot 11 \cdot 14}} + \ldots \]

Gyakorló feladat:

Konvergens e a következő sor?

\[\sum {\frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{\left( {4n} \right)!!}},\quad {\rm{ahol}}\;} \left( {2k - 1} \right)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot \left( {2k - 1} \right)\]