A feladatok megoldásához szükséges elméleti tudnivalók
A hatványsorok a függvénysorok egy speciális fajtálát jelentik. Általános szerkezetük a következő: \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}{{\left( {x - A} \right)}^n}} \), ahol \(A\) egy valós (esetleg komplex szám), \({c_n}\) pedig egy számsorozat. Az előző kifejezést szokás \(A\) középpontú hatványsornak is nevezni. Egy hatványsor konvergenciatartománya a fenti képletben szereplő \(A\) számnak az a legnagyobb nyílt környezete, ahol a sor konvergens. A konvergenciatartomány mindig szimmetrikus, vagyis a következő alakba írható: \(\left( {A - R;A + R} \right)\). Az előző intervallum meghatározásban szereplő \(R\)-et szokás konvergenciasugárnak hívni. A konvergenciasugár meghatározásához jó segítséget tud nyújtani a hányados, illetve gyök kritérium, ugyanis:
ha létezik a \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\left| {{c_n}} \right|}}\) határérték, és az nullától különböző valós szám akkor \[R = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sqrt[n]{{\left| {{c_n}} \right|}}}}\] Ez esetben külön figyelmet kell szentelnünk az így kapott intervallum végpontjaiban való konvergenciavizsgálatnak
Ha \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\left| {{c_n}} \right|}} = 0\), akkor a konvergenciatartomány a teljes valós számok halmaza
Ha \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\left| {{c_n}} \right|}} = \infty \), akkor a konvergenciatartomány az \(\left\{ A \right\}\) - azaz a hatványsor ez esetben csak \(x = A\) esetén konvergens
A fenti képletekben \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\left| {{c_n}} \right|}}\) helyett \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{c_n}}}{{{c_{n + 1}}}}} \right|\) is írható!
A témakör oktatóvideóinak megtekintéséhez az oldalra való előfizetés szükséges!
Mintafeladat:
Határozza meg a következő függvénysor konvergenciatartományát:
