Egyváltozós függvények végtelenbeli határértéke

A feladatok megoldásához szükséges elméleti tudnivalók

Definíció szerint, ha \(D \subset \mathbb{R}\) egy felülről nem korlátos halmaz, és \(f:D \to \mathbb{R}\) függvény, valamint az \(\left\{ {{x_n}} \right\}\) egy olyan sorozat, amelynek minden eleme \(D\)-ben van - azaz \(\left\{ {{x_n}} \right\}\) egy \(D\) beli sorozat -, amelyre \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = \infty \) Ha az \(\left\{ {f\left( {{x_n}} \right)} \right\}\) sorozat minden fenti tulajdonságú \(\left\{ {{x_n}} \right\}\) sorozat esetén konvergens és létezik az \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {{x_n}} \right)=A\) határérték, akkor azt mondjuk, hogy az \(f\) függvénynek létezik határértéke a végtelenben, és az az utóbbi határértékkel egyenlő. Ennek megfelelően definiálható a mínusz végtelenbeli határérték is - a fenti definícióban a \(D\) halmaz alulról való nem-korlátosságát és az \(\left\{ {{x_n}} \right\}\) sorozat mínusz végtelenbe tartását kell megkövetelnünk a felülről való nem korlátosság, illetve a plusz végtelenbe tartás helyett.

Egyváltozós függvények végtelenbeli határértékének meghatározásakor a sorozatoknál megismert technikákra támaszkodhatunk (domináns tag, nevezetes határértékek, rendőr elv stb.)

A témakör oktatóvideóinak megtekintéséhez az oldalra való előfizetés szükséges!

Mintafeladat:

Határozza meg a következő függvény plusz és mínusz végtelenbeli határértékét!

\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1 + {x^4}}}{{2{x^3} + {x^2} + x}}\]