Egyváltozós függvények véges helyen vett határértékének meghatározása

Egyváltozós függvények - véges helyi határérték

A feladatok megoldásához szükséges elméleti tudnivalók

Legyen \(D \subset \mathbb{R}\), és \(f:D \to \mathbb{R}\) függvény, és \({x_0}\) legyen torlódási pontja a \(D\) halmaznak. Ha minden olyan \(\left\{ {{x_n}} \right\}\) sorozatra, amelynek nem eleme az \({x_0}\), de minden tagja a \(D\)-ben van és \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = {x_0}\) teljesül, hogy az \(\left\{ {f\left( {{x_n}} \right)} \right\}\) sorozat konvergens, és \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {{x_n}} \right) = A\), akkor ezt a határértéket nevezzük az \(f\) függvény \({x_0}\) pont beli határértékének!
A feladatmegoldás szempontjából érdekes példák esetében a számlálóü és a nevező egyaránt a nullához tart. Ilyenkor - mivel ez tiltott határátmenet - arra kell törekednünk, hogy a számlálót és nevezőt egyaránt szorzattá alakítva, mejd egyszerűsítést elvégezve megszűntessük a határérték \(0/0\) jellegét - ebben segítségünkre lehetnek a sorozatok határértékszámításánál megismert algebrai átalakítások, azonosságok és gyöktelenítés, valamint trigonometrikus függvények jelenléte esetén az azokra vonatkozó nevezetes azonosságok.

A témakör oktatóvideóinak megtekintéséhez az oldalra való előfizetés szükséges!

Mintafeladat:
Határozza meg a következő határértéket:
\[\mathop {\lim }\limits_1 \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{{{x^4} - 4x + 3}}\]

Gyakorló feladat:
Határozza meg a következő határértéket:
\[\mathop {\lim }\limits_3 \frac{{2{x^2} - 7x + 3}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}}\]

Mintafeladat:
Határozza meg a következő határértéket:
\[\mathop {\lim }\limits_1 \left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{3}{{1 - {x^3}}}} \right)\]

Mintafeladat:
Határozza meg a következő határértéket:
\[\mathop {\lim }\limits_1 \frac{{{x^5} - 1}}{{x - 1}}\]

Gyakorló feladat:
Határozza meg a következő határértéket:
\[\mathop {\lim }\limits_{16} \frac{{\sqrt[4]{x} - 2}}{{\sqrt x - 4}}\]

Gyakorló feladat:
Határozza meg a következő határértéket:
\[\mathop {\lim }\limits_2 \frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {2x} - 2}}\]

Mintafeladat:
Határozza meg a következő határértéket:
\[\mathop {\lim }\limits_0 \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{x}\]

Gyakorló feladat:
Határozza meg a következő határértéket:
\[\mathop {\lim }\limits_2 \frac{{\sqrt {11x + 3} - \sqrt {4x + 17} }}{{{x^2} - 5x + 6}}\]

Gyakorló feladat:
Határozza meg a következő határértéket:
\[\mathop {\lim }\limits_0 \frac{x}{{\sqrt[3]{{1 + x}} - \sqrt[3]{{1 - x}}}}\]

Mintafeladat:
Határozza meg a következő határértéket:
\[\mathop {\lim }\limits_0 \frac{{\sqrt {1 + {\mathop{\rm tg}\nolimits} 2x} - \sqrt {1 - {\mathop{\rm tg}\nolimits} 2x} }}{{\sin x}}\]

Gyakorló feladat:
Határozza meg a következő határértéket:
\[\mathop {\lim }\limits_0 \frac{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{\sqrt {1 + \sin x} - \sqrt {\cos x + \sin x} }}\]

Gyakorló feladat:
Határozza meg a következő határértéket:
\[\mathop {\lim }\limits_{\frac{\pi }{4}} \frac{{\sin x - \cos x}}{{\cos 2x}}\]

Mintafeladat:
Határozza meg a következő határértéket:
\[\mathop {\lim }\limits_{ - 1} \frac{{1 + \sqrt[3]{x}}}{{1 + \sqrt[5]{x}}}\]

Mintafeladat:
Határozza meg a következő határértéket:
\[\mathop {\lim }\limits_0 \left( {{x^2}\sin \frac{1}{x}} \right)\]

A feladatokhoz való visszatéréshez kattints ide, vagy nyomd le az Esc billentyűt!

Double click to edit
A weboldal a könnyebb használhatóság érdekében cookie-kat használ!
 
 
Az oldal üzemelteője
Név: Bökényi Gergely ev.
Email: kapcsolat[kukac]analizisoktatas.hu
Cím: Vác 2600 Kandó Kálmán u. 2
Telefonszám: 06-20-919-9235
Adószám: 66745334133
Fizetési partner
© Bökényi Gergely ev. 2017-2018 Minden jog fenntartva