Racionális törtfüggvények integrálása

Racionális törtfüggvények integrálása

A feladatok megoldásához szükséges elméleti tudnivalók
Noha az általános törtes kifejezésekre vonatkozóan nem rendelkezünk integrálási szabállyal, de a racionális törtkifejezésekre, mint a törtes kifejezések speciális esetére vonatkozóan rendelkezésünkre áll a megfelelő integrálási szabály. Első lépésben érdemes tisztáznunk, hogy mit is jelent a racionális tört fogalma. Racionális tört alatt olyan törtre gondoljunk, aminek a számlálója és a nevezője egxyaránt polinom. Az ilyen kifejezések integrálási szabálya a következő:
  1. Amennyiben a számlálóban lévő polinom magasabb fokú, mint a nevezőben lévő, akkor végezzünk el egy polinomosztást, elérve azt, hogy racionális törtkifejezésünk olyan alakot öltsön, hogy polinom + racionális tört, ahol ez utóbbiban a számláló már alacsonyabb fokú, mint a nevezőben lévő polinom 8az ilyen racionális töreket szokás valódi racionális törteknek is nevezni)
  2. Ha nem kínálkozik alkalmazható integrálási szabály, amivel rögtön eredményre jutunk, akkor bontsuk fel a nevezőben lévő polinomot irreducibilis (vagyis tovább már nem bontható) első és / vagy másodfokú polinomok szorzatára
  4. Bontsuk fel parciális törtekre a valódi racionális kifejezésünket
  5. Végezzük el a parciális törtek integrálását, ezzel megoldva a feladatot
A fenti felsorolásban a parciális törtekre bontási módszert érdemes egy kicsit részletesebben is tárgyalni:
  • Amennyiben a nevezőnek csupa egyszeres zérushelye van, akkor:
    \[\int {\frac{{{P_k}\left( x \right)}}{{\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) \ldots \left( {x - {x_n}} \right)}}dx = \int {\left( {\frac{{{A_1}}}{{x - {x_1}}} + \frac{{{A_2}}}{{x - {x_2}}} + \ldots + \frac{{{A_n}}}{{x - {x_n}}}} \right)} } dx\]

    ,ahol \(k,{A_i} \in \mathbb{R},\;i \in \overline {1,n} \).
  • Ha a nevezőnek van többszörös gyöke, akkor a következők szerint kell eljárni:
    \[\int {\frac{{{P_k}\left( x \right)}}{{{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}}}dx = \int {\left( {\frac{{{A_1}}}{{x - {x_0}}} + \frac{{{A_2}}}{{{{\left( {x - {x_0}} \right)}^2}}} + \ldots + \frac{{{A_n}}}{{{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}}}} \right)} } dx\]
  • Ha van fel nem bontható másodfokú tényezője a nevezőnek, akkor a lenti szerint járunk el vele:
    \[\int {\frac{{{P_k}\left( x \right)}}{{\left( {x - {x_1}} \right) \ldots \left( {x - {x_n}} \right)\left( {A{x^2} + Bx + C} \right)}}dx = } \int {\left( {\frac{{{A_1}}}{{x - {x_1}}} + \ldots + \frac{{{A_n}}}{{x - {x_n}}} + \frac{{Dx + E}}{{A{x^2} + Bx + C}}} \right)} dx\]

A témakör oktatóvideóinak megtekintéséhez az oldalra való előfizetés szükséges!

Gyakorló feladat:
Végezze el a következő integrálást:
\[\int {\frac{{dx}}{{2 - 5x}}} \]

Gyakorló feladat:
Végezze el a következő integrálást:
\[\int {\frac{7}{{{{\left( {4x + 5} \right)}^8}}}dx} \]

Gyakorló feladat:
Végezze el a következő integrálást:
\[\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + x + 1}}} \]

Mintafeladat:
Végezze el a következő integrálást:
\[\int {\frac{{3x - 2}}{{{x^2} + 4x + 8}}dx} \]

Gyakorló feladat:
Végezze el a következő integrálást:
\[\int {\frac{{1 - 3x}}{{2{x^2} - 4x + 2}}dx} \]

Gyakorló feladat:
Végezze el a következő integrálást:
\[\int {\frac{x}{{2{x^2} + 3x + 1}}dx} \]

Mintafeladat:
Végezze el a következő integrálást:
\[\int {\frac{{3x - 5}}{{{x^2} + 2x + 1}}dx} \]

Mintafeladat:
Végezze el a következő integrálást:
\[\int {\frac{{7x - 14}}{{{x^2} - x - 12}}dx} \]

Gyakorló feladat:
Végezze el a következő integrálást:
\[\int {\frac{{x - 3}}{{{x^3} - x}}dx} \]

Gyakorló feladat:
Végezze el a következő integrálást:
\[\int {\frac{{dx}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}} \]

Gyakorló feladat:
Végezze el a következő integrálást:
\[\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}} \]

Gyakorló feladat:
Végezze el a következő integrálást:
\[\int {\frac{3}{{{x^3} + 1}}dx} \]

Gyakorló feladat:
Végezze el a következő integrálást:
\[\int {\frac{{2{x^2} - x}}{{{x^4} - 1}}dx} \]

A feladatokhoz való visszatéréshez kattints ide, vagy nyomd le az Esc billentyűt!

Double click to edit
A weboldal a könnyebb használhatóság érdekében cookie-kat használ!
 
 
Az oldal üzemelteője
Név: Bökényi Gergely ev.
Email: kapcsolat[kukac]analizisoktatas.hu
Cím: Vác 2600 Kandó Kálmán u. 2
Telefonszám: 06-20-919-9235
Adószám: 66745334133
Fizetési partner
Hasznos linkek
© Bökényi Gergely ev. 2017-2018 Minden jog fenntartva