Függvények szorzatára vonatkozóan nem rendelkezünk általános képlettel, viszont az egyszerűbb föggvények kéttényezős szorzatait viszonylag könnyen ki tudjuk számítani a parciális integrálás technikájával, amelynek alapképlete a következő:
\[\int {\left( {f' \cdot g} \right) = f \cdot g - \int {\left( {f \cdot g'} \right)} } \]
A parciális integrálás használatához fontos, hogy a főbb szorzattípusokra tudjuk, hogy melyik függvényt kell \(f'\)-nek és melyiket \(g\)-nek választani. A nem jó szereposztás az integrandus egyre bonyolultabbá válását, az integrál kiszámításának kudarcba fulladását eredményezi. A szorzatokat a következő három csoportba bonthatjuk
\[\int {P\left( x \right) \cdot \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{k^x}}\\{\sin x}\\{\cos x}\\{{\mathop{\rm sh}\nolimits} x}\\{{\mathop{\rm ch}\nolimits} x}\end{array}} \right\}} dx\]
,ahol \(k\) rögzített valós szám, a \(P\left( x \right)\) pedig egy polinom. Ennél a típusnál a célravezető szereposztás az, hogy \(P\left( x \right)\)-et választjuk \(f'\)-nek
\[\int {P\left( x \right) \cdot \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_k}x}\\{\arcsin x}\\{\arccos c}\\{{\mathop{\rm arsh}\nolimits} x}\\{{\mathop{\rm arch}\nolimits} x}\end{array}} \right\}} dx\]
esetében viszont a \(P\left( x \right)\)-et választjuk a parciális integrálás fenti képletében szereplő \(g\)-nek
\[\int {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{k^x}}\\{{\mathop{\rm sh}\nolimits} x}\\{{\mathop{\rm ch}\nolimits} x}\end{array}} \right\} \cdot \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x}\\{\cos x}\end{array}} \right\}} dx\]
szerkezet esetében viszont teljesen mindegy a szerepválasztás, viszont kétszer kell egymás után alkalmazni a parciális integrálást - mindkétszer következetesen ugyanazt a szerepválasztást használva -, majd a második eredményét, és a kiinduló integrál egyenlőségét felhasználva kifejezni a keresett integrált - nem elfeledkezve az integrációs konstans feltüntetéséről.
A témakör oktatóvideóinak megtekintéséhez az oldalra való előfizetés szükséges!
