Az integrálszámítást szokás a deriválás fordítottjának (inverz műveletének) is nevezni. Ez természetesen messze pontatlan megközelítés, de amikor egy \(f\) függvény határozatlan integrálját határozzuk meg, akkor valóban arra a kérdésre keressük a választ, hogy melyik az az \(F\) függvény, amit deriválva \(f\)-et kapjuk. Az előbb említett \(F\)-et \(f\) primitív függvényének szokás nevezni. Nem meglepő módon, ahogy a differenciálszámításnál, úgy az integrálszámításnál is az alapfüggvények integrálásához néhány képletet kell ismernünk, ezek a következők:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\int {kdx = kx + C} }\\{\int {{x^k}dx = \frac{{{x^{k + 1}}}}{{k + 1}} + C\quad ,k \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}} }\\{\int {{k^x}dx = \frac{{{k^x}}}{{\ln k}} + C} }\\{\int {{e^x}dx = {e^x} + C} }\\{\int {\sin xdx = - \cos x + C} }\\{\int {\cos xdx = \sin x + C} }\\{\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x + C} }\\{\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = {\mathop{\rm tgx}\nolimits} + C}\\{\int {\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} = \arcsin x + C}\\{\int {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} = {\mathop{\rm arctg}\nolimits} x + C}\\{\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} }\\{\int {{\mathop{\rm sh}\nolimits} x} dx = {\mathop{\rm ch}\nolimits} x + C}\\{\int {{\mathop{\rm ch}\nolimits} xdx = {\mathop{\rm sh}\nolimits} x + C} }\\{\int {\frac{1}{{{{{\mathop{\rm sh}\nolimits} }^2}x}}dx = - {\mathop{\rm cth}\nolimits} x + C} }\\{\int {\frac{1}{{{{{\mathop{\rm ch}\nolimits} }^2}x}}dx = {\mathop{\rm th}\nolimits} x + C} }\\{\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} = {\mathop{\rm arsh}\nolimits} x + C}\\{\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}dx = {\mathop{\rm arch}\nolimits} x + C\quad ,x > 1} }\\{\int {\frac{1}{{1 - {x^2}}}dx = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathop{\rm arth}\nolimits} x + C\quad ,\left| x \right| < 1}\\{{\mathop{\rm arcth}\nolimits} x + C\quad ,\left| x \right| > 1}\end{array}} \right.} }\end{array}\]
A fentiképletekben a \(C \in \mathbb{R}\), ami azt jelenti. hogy egy függvény primitív függvénye (ha létezik egyáltalán) nem egyértelmű, de egymástól csak egy konstans tagban térnek el!
Fontosak lesznek még a függvények összegére, különbségére és konstansszorosára vonatkozó alábbi képletek is:
\[\begin{array}{*{20}{c}}{\int {\left( {f + g} \right) = \int f + \int g } }\\{\int {\left( {f - g} \right) = \int f - \int g } }\\{\int {k \cdot f = k\int f } }\end{array}\]
,ahol \(k \in \mathbb{R}\) és \(f,g\) függvények.
A témakör oktatóvideóinak megtekintéséhez az oldalra való előfizetés szükséges!
