Egyváltozós függvények differenciálhatóságának vizsgálata

Egyváltozós függvények differenciálhatóságának vizsgálata, a bal- és jobb oldali deriváltak

A feladatok megoldásához szükséges elméleti tudnivalók
Az egyváltozós függvények differenciálhatóságának kérdése elsősorban a szakaszonként adott függvények esetében szokott előtérbe kerülni, ahol a differenciálhatóság a szakaszok csatlakozási pontjainál szokott kritikus kérdés lenni. A probléma vizsgálatára - mivel az egy (vagy véges sok) adott pontra vonatkozóan szokott felmerülni - bal és jobb oldali deriváltakat használjuk a fent említett csatlakozási pontokra kiszámítva azokat. Amennyiben a két kapott érték megegyezik, úgy az az adott pont beli derivált, és a függvény az adott pontban differenciálható, ellenkező esetben a függvény az adott pontban nem differenciálható. Zárszóként nézzük a jobb oldali derivált definícióját:

A valós számok halmazán értelmezett egyváltozós \(f\) függvény a \(c \in {D_f}\) pontban differenciálható jobbról, ha létezik az
\[m = \mathop {\lim }\limits_{x \to c + } \frac{{f\left( x \right) - f\left( c \right)}}{{x - c}}\]
véges határérték. A bal oldali derivált ugyanígy definiálható, csak ott a jobb oldali határérték helyett a bal oldali határértéket kell venni! Mielőtt azonban elkezdenénk vizsgálni a bal és jobb oldali deriváltakat célszerű lehet a vizsgált pontban, vagy pontokban való folytonosság ellenőrzésére - az adott pontban vett folytonosság ugyanis a deriválhatóság előfeltétele!

A témakör oktatóvideóinak megtekintéséhez az oldalra való előfizetés szükséges!

Mintafeladat:
Deriválható e a következő függvény az \(x = 1\) helyen?
\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}1&{ha}&{x \le 1}\\{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 1}&{ha}&{x > 1}\end{array}} \right.\]

Mintafeladat:
Igazolja, hogy az alábbi függvény folytonos az \(x = 0\) helyen, de ott sem bal oldali, sem jobb oldali deriváltja nem létezik!
\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x\sin \frac{1}{x}}&{ha}&{x \ne 0}\\0&{ha}&{x = 0}\end{array}} \right.\]

Gyakorló feladat:
Deriválható e a következő függvény az \(x = - 2\) és az \(x = - 4\) helyeken?
\[f\left( x \right) = \left| {x + 2} \right| - \left| {x + 4} \right|\]

Gyakorló feladat:
Határozza meg az \(a\) és \(b\) paraméterek értékét úgy, hogy az alábbi függvény mindenütt differenciálható legyen!
\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2}}&{ha}&{x \le 2}\\{a \cdot x + b}&{ha}&{x > 2}\end{array}} \right.\]

Gyakorló feladat:
Határozza meg az \(a\) és \(b\) paraméterek értékét úgy, hogy az alábbi függvény mindenütt differenciálható legyen!
\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \cdot x + b}&{ha}&{x < - 1}\\{{e^x}}&{ha}&{x \ge - 1}\end{array}} \right.\]

A feladatokhoz való visszatéréshez kattints ide, vagy nyomd le az Esc billentyűt!

Double click to edit
A weboldal a könnyebb használhatóság érdekében cookie-kat használ!
 
 
Az oldal üzemelteője
Név: Bökényi Gergely ev.
Email: kapcsolat[kukac]analizisoktatas.hu
Cím: Vác 2600 Kandó Kálmán u. 2
Telefonszám: 06-20-919-9235
Adószám: 66745334133
Fizetési partner
Hasznos linkek
© Bökényi Gergely ev. 2017-2018 Minden jog fenntartva